ผู้รู้ IT AGAIN พิมพ์ว่า:

สวยมาทำไงดีคะ

แดกญ่าค่ะ


_________________

1. ให้ f: A ฎ B และ g: B ฎ C โดยที่ (gof)(x) = x จงพิสูจน์ว่า อินเวอร์สของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ให้เหตุผลประกอบ

2. จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็มบวก x,y,z ที่สอดคล้องกับ 2548x + (-2005)y = (-543)z หรือไม่ ถ้ามี หาคำตอบทั้งหมด ถ้าไม่มี จงแสดงให้เห็นจริง

3. จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ (x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)

4. ให้ a เป็นรากที่ 7 ของ 1 โดยที่ a น 1 จงหารากของสมการ z2+z+2 = 0 ในรูปของ a ที่มีดีกรีต่ำสุด

5. ABC เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง a,b,c เป็นด้านตรงข้ามของมุม A,B,C ตามลำดับ และ (a2+b2)sin(A-B) = (a2-b2)sin(A+B) จงพิสูจน์ว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก


_________________

แอบชอบคนในบอร์ด แต่ไม่กล้าบอก เพราะเค้าแรงมากๆ กลัวบอกไปแล้วเค้าด่ากลับมา ทำไงดี


_________________

ผู้ชายในบอร์ดมาแอบชอบค่ะ ทำไงดี


_________________

พระนางแมรียา พิมพ์ว่า:

1. ให้ f: A ฎ B และ g: B ฎ C โดยที่ (gof)(x) = x จงพิสูจน์ว่า อินเวอร์สของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ให้เหตุผลประกอบ

2. จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็มบวก x,y,z ที่สอดคล้องกับ 2548x + (-2005)y = (-543)z หรือไม่ ถ้ามี หาคำตอบทั้งหมด ถ้าไม่มี จงแสดงให้เห็นจริง

3. จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ (x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)

4. ให้ a เป็นรากที่ 7 ของ 1 โดยที่ a น 1 จงหารากของสมการ z2+z+2 = 0 ในรูปของ a ที่มีดีกรีต่ำสุด

5. ABC เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง a,b,c เป็นด้านตรงข้ามของมุม A,B,C ตามลำดับ และ (a2+b2)sin(A-B) = (a2-b2)sin(A+B) จงพิสูจน์ว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก

ตามนี้เลยค่ะ
ที่นี่ค่ะ



แก้ไขล่าสุดโดย นางมารหอหลวม เมื่อ Tue Dec 07, 2010 9:23 pm, ทั้งหมด 1 ครั้ง
_________________
CLICK

พระนางแมรียา พิมพ์ว่า:

1. ให้ f: A ฎ B และ g: B ฎ C โดยที่ (gof)(x) = x จงพิสูจน์ว่า อินเวอร์สของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ให้เหตุผลประกอบ

2. จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็มบวก x,y,z ที่สอดคล้องกับ 2548x + (-2005)y = (-543)z หรือไม่ ถ้ามี หาคำตอบทั้งหมด ถ้าไม่มี จงแสดงให้เห็นจริง

3. จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ (x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)

4. ให้ a เป็นรากที่ 7 ของ 1 โดยที่ a น 1 จงหารากของสมการ z2+z+2 = 0 ในรูปของ a ที่มีดีกรีต่ำสุด

5. ABC เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง a,b,c เป็นด้านตรงข้ามของมุม A,B,C ตามลำดับ และ (a2+b2)sin(A-B) = (a2-b2)sin(A+B) จงพิสูจน์ว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อ 1 ก่อนนะ
สมมติให้ f(x) ไม่เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 จะมี x_1 กับ x_2 เป็นสมาชิกของ A ที่ทำให้ f(x_1)=f(x_2)=y โดยที่ y เป็นสมาชิกของ B
แต่ g(f(x_1))=g(y)=x_1 และ g(f(x_2))=g(y)=x_2
ดังนั้น g ไม่ใช่ฟังก์ชัน เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 ทำให้อินเวอร์สของ f เป็นฟังก์ชัน
ข้อ 3 นะครับ.

(x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)

ขั้นที่ 1 : หาว่า P(x) เป็นพหุนามกำลังเท่าใด
ให้ P(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n
ดังนั้น (x-2548)[a_0 + a_1(x+3) + \cdots + a_{n-1}(x+3)^{n-1} + a_n(x+3)^n ]
= (x-2005)[ a_0 + a_1x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n ]
เทียบ ส.ป.ส ของ x^n : a_{n-1} + a_n {n \choose 1}3 - 2548a_n = a_{n-1} - 2005 a_n \Rightarrow 3n - 2548 = -2005 \Rightarrow n = 181

ขั้นที่ 2 : จำกัดค่ารากที่เป็นไปได้
แทน x = 2548 : P(2548) = 0
แทน x = 2005 : P(2008) = 0

ให้ r เป็นรากของพหุนามแสดงว่า P(r) = 0
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า : (r-2548)P(r+3) = (r-2005)P(r) \Rightarrow (r-2548)P(r+3) = 0
ถ้า r \ne 2548 แล้ว P(r+3) = 0 ซึ่งแปลความหมายได้ว่า ถ้า P(r) เป็นรากของพหุนาม แล้ว P(r+3) จะเป็นรากด้วย เช่น P(2548 + 3) = 0 เป็นต้น.

จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า : (r-2551)P(r) = (r-2008)P(r-3) \Rightarrow (r-2008)P(r-3) = 0
ถ้า r \ne 2008 แล้ว P(r-3) = 0 ซึ่งแปลความหมายได้ว่า ถ้า P(r) เป็นรากของพหุนาม แล้ว P(r-3) จะเป็นรากด้วย เช่น P(2548 - 3) = 0 เป็นต้น.

ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะจะมีรากเป็นจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ดีเมื่อพิจารณาเงื่อนไขที่ว่า
(1) n = 181
(2) P(2548) = 0
(3) P(2008) = 0
เราจะพบว่าจะไม่สามารถเลือกค่ารากออกไปจาก 2548 ทางด้านมากจนสุดด้านเดียว คือ P(2548 + 3) , P(2548 + 3 + 3) + ... เพราะจะทำให้ P(2005) ไม่รวมอยู่ในนั้น
ทำนองเดียวกัน จะไม่เลือกค่ารากออกไปจาก 2008 ทางด้านน้อยจนสุดด้านเดียว คือ P(2008 - 3) , P(2008 - 3 - 3) + ... เพราะจะทำให้ P(2548) ไม่รวมอยู่ในนั้น

เมื่อพิจารณาค่ารากตั้งแต่ P(2008) , P(2008 + 3) , ... P(2545 + 3) = P(2548) จะพบว่ามีจำนวนเท่ากับ 181 พอดี นั่นคือ
P(x) = C(x-2008)(x-2011)(x-2014)\cdots(x-2545)(x-2548) เท่านั้นที่เป็นไปได้ซึ่งเมื่อแทนค่าจะพบว่าเป็นจริง

--------------------------------------------------------------------------------

ส่วนข้อ 2 ใช้ mod 3 ครับ จะได้ 1^x+(-1)^y \equiv 0\ \ (mod\ \ 3) ดังนั้น y เป็นจำนวนคี่
และ 0^x+(-1)^y \equiv 1\ \ (mod\ \ 4)
ดังนั้น y เป็นจำนวนคู่ เกิดข้อขัดแย้ง

--------------------------------------------------------------------------------

ข้อ 5

(a^2 + b^2)sin(A-B) = (a^2-b^2)sin(A+B)
\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{sin(A+B)}{sin(A-B)} = \frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinAcosB-cosAsinB}
1+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{sin(A+B)}{sin(A-B)} = 1+\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinAcosB-cosAsinB}
\frac{a^2-b^2}{a^2} = \frac{sinAcosB-cosAsinB}{sinAcosB}
1-\frac{b^2}{a^2} = 1-\frac{cosAsinB}{sinAcosB}

โดยกฏของไซน์ : \frac{b}{a} = \frac{sinB}{sinA} \Rightarrow \frac{sin^2B}{sin^2A} = \frac{cosAsinB}{sinAcosB}
\frac{sinB}{sinA} = \frac{cosA}{cosB} \iff \frac{sinB}{sinA} - \frac{cosA}{cosB} = 0
\frac{sinBcosB-sinAcosA}{sinAcosB} = 0
(sinA)(cosB)(sin 2B - sin 2A) = 0
แต่ sin A \ne 0
ถ้า cos A = 0 \Rightarrow B = \frac{\pi}{2}
ถ้า sin 2B = sin 2A \Rightarrow 2B = 2A + 2n\pi \Rightarrow B = A + \pi
ซึ่งจะเป็นไปได้เมื่อ n = 0 เท่านั้น นั่นคือ A = B

ปล. รู้สึกตอนท้ายจะมั่วนิดนึงนะครับ. เดี๋ยวมาแก้ทีหลังล่ะกัน

--------------------------------------------------------------------------------
ข้อ 4
\alpha = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7}
\alpha^2 = \cos\frac{4\pi}{7} + i\sin\frac{4\pi}{7}
\alpha^3 = \cos\frac{6\pi}{7} + i\sin\frac{6\pi}{7}
\alpha^4 = \cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7}
\alpha^5 = \cos\frac{10\pi}{7} + i\sin\frac{10\pi}{7}
\alpha^6 = \cos\frac{12\pi}{7} + i\sin\frac{12\pi}{7}

โดย ทฤษฎีสมการและตรีโกณมิติ (ใน My Maths ตอนต่าง ๆ ที่เขียนอยู่) จะได้ว่า

\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{8\pi}{7} = -\frac{1}{2} และ
\sin \frac{2\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} = \frac{\sqrt{7}}{2}

ดังนั้น -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2} = \alpha + \alpha^2 + \alpha^4 = \alpha + \alpha^2(1+\alpha^2)
และ -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{7}}{2} = -(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2}) = -(1 - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2}) = -(1 + \alpha + \alpha^2(1 + \alpha^2))
ไม่รูjวาโจทย์อยากให้ตอบแบบนี้หรือเปล่า

--------------------------------------------------------------------------------


_________________

The Music Like A BomB พิมพ์ว่า:

แอบชอบคนในบอร์ด แต่ไม่กล้าบอก เพราะเค้าแรงมากๆ กลัวบอกไปแล้วเค้าด่ากลับมา ทำไงดี

เป็นตัวของตัวเองค่า


_________________

T O F F Y พิมพ์ว่า:

ผู้ชายในบอร์ดมาแอบชอบค่ะ ทำไงดี

ควรจะดีใจค่ะ


_________________

อิลลูมินาติ พิมพ์ว่า:

พระนางแมรียา พิมพ์ว่า:

1. ให้ f: A ฎ B และ g: B ฎ C โดยที่ (gof)(x) = x จงพิสูจน์ว่า อินเวอร์สของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ให้เหตุผลประกอบ

2. จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็มบวก x,y,z ที่สอดคล้องกับ 2548x + (-2005)y = (-543)z หรือไม่ ถ้ามี หาคำตอบทั้งหมด ถ้าไม่มี จงแสดงให้เห็นจริง

3. จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ (x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)

4. ให้ a เป็นรากที่ 7 ของ 1 โดยที่ a น 1 จงหารากของสมการ z2+z+2 = 0 ในรูปของ a ที่มีดีกรีต่ำสุด

5. ABC เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง a,b,c เป็นด้านตรงข้ามของมุม A,B,C ตามลำดับ และ (a2+b2)sin(A-B) = (a2-b2)sin(A+B) จงพิสูจน์ว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อ 1 ก่อนนะ
สมมติให้ f(x) ไม่เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 จะมี x_1 กับ x_2 เป็นสมาชิกของ A ที่ทำให้ f(x_1)=f(x_2)=y โดยที่ y เป็นสมาชิกของ B
แต่ g(f(x_1))=g(y)=x_1 และ g(f(x_2))=g(y)=x_2
ดังนั้น g ไม่ใช่ฟังก์ชัน เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 ทำให้อินเวอร์สของ f เป็นฟังก์ชัน
ข้อ 3 นะครับ.

(x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)

ขั้นที่ 1 : หาว่า P(x) เป็นพหุนามกำลังเท่าใด
ให้ P(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n
ดังนั้น (x-2548)[a_0 + a_1(x+3) + \cdots + a_{n-1}(x+3)^{n-1} + a_n(x+3)^n ]
= (x-2005)[ a_0 + a_1x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n ]
เทียบ ส.ป.ส ของ x^n : a_{n-1} + a_n {n \choose 1}3 - 2548a_n = a_{n-1} - 2005 a_n \Rightarrow 3n - 2548 = -2005 \Rightarrow n = 181

ขั้นที่ 2 : จำกัดค่ารากที่เป็นไปได้
แทน x = 2548 : P(2548) = 0
แทน x = 2005 : P(2008) = 0

ให้ r เป็นรากของพหุนามแสดงว่า P(r) = 0
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า : (r-2548)P(r+3) = (r-2005)P(r) \Rightarrow (r-2548)P(r+3) = 0
ถ้า r \ne 2548 แล้ว P(r+3) = 0 ซึ่งแปลความหมายได้ว่า ถ้า P(r) เป็นรากของพหุนาม แล้ว P(r+3) จะเป็นรากด้วย เช่น P(2548 + 3) = 0 เป็นต้น.

จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า : (r-2551)P(r) = (r-2008)P(r-3) \Rightarrow (r-2008)P(r-3) = 0
ถ้า r \ne 2008 แล้ว P(r-3) = 0 ซึ่งแปลความหมายได้ว่า ถ้า P(r) เป็นรากของพหุนาม แล้ว P(r-3) จะเป็นรากด้วย เช่น P(2548 - 3) = 0 เป็นต้น.

ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะจะมีรากเป็นจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ดีเมื่อพิจารณาเงื่อนไขที่ว่า
(1) n = 181
(2) P(2548) = 0
(3) P(2008) = 0
เราจะพบว่าจะไม่สามารถเลือกค่ารากออกไปจาก 2548 ทางด้านมากจนสุดด้านเดียว คือ P(2548 + 3) , P(2548 + 3 + 3) + ... เพราะจะทำให้ P(2005) ไม่รวมอยู่ในนั้น
ทำนองเดียวกัน จะไม่เลือกค่ารากออกไปจาก 2008 ทางด้านน้อยจนสุดด้านเดียว คือ P(2008 - 3) , P(2008 - 3 - 3) + ... เพราะจะทำให้ P(2548) ไม่รวมอยู่ในนั้น

เมื่อพิจารณาค่ารากตั้งแต่ P(2008) , P(2008 + 3) , ... P(2545 + 3) = P(2548) จะพบว่ามีจำนวนเท่ากับ 181 พอดี นั่นคือ
P(x) = C(x-2008)(x-2011)(x-2014)\cdots(x-2545)(x-2548) เท่านั้นที่เป็นไปได้ซึ่งเมื่อแทนค่าจะพบว่าเป็นจริง

--------------------------------------------------------------------------------

ส่วนข้อ 2 ใช้ mod 3 ครับ จะได้ 1^x+(-1)^y \equiv 0\ \ (mod\ \ 3) ดังนั้น y เป็นจำนวนคี่
และ 0^x+(-1)^y \equiv 1\ \ (mod\ \ 4)
ดังนั้น y เป็นจำนวนคู่ เกิดข้อขัดแย้ง

--------------------------------------------------------------------------------

ข้อ 5

(a^2 + b^2)sin(A-B) = (a^2-b^2)sin(A+B)
\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{sin(A+B)}{sin(A-B)} = \frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinAcosB-cosAsinB}
1+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{sin(A+B)}{sin(A-B)} = 1+\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinAcosB-cosAsinB}
\frac{a^2-b^2}{a^2} = \frac{sinAcosB-cosAsinB}{sinAcosB}
1-\frac{b^2}{a^2} = 1-\frac{cosAsinB}{sinAcosB}

โดยกฏของไซน์ : \frac{b}{a} = \frac{sinB}{sinA} \Rightarrow \frac{sin^2B}{sin^2A} = \frac{cosAsinB}{sinAcosB}
\frac{sinB}{sinA} = \frac{cosA}{cosB} \iff \frac{sinB}{sinA} - \frac{cosA}{cosB} = 0
\frac{sinBcosB-sinAcosA}{sinAcosB} = 0
(sinA)(cosB)(sin 2B - sin 2A) = 0
แต่ sin A \ne 0
ถ้า cos A = 0 \Rightarrow B = \frac{\pi}{2}
ถ้า sin 2B = sin 2A \Rightarrow 2B = 2A + 2n\pi \Rightarrow B = A + \pi
ซึ่งจะเป็นไปได้เมื่อ n = 0 เท่านั้น นั่นคือ A = B

ปล. รู้สึกตอนท้ายจะมั่วนิดนึงนะครับ. เดี๋ยวมาแก้ทีหลังล่ะกัน

--------------------------------------------------------------------------------
ข้อ 4
\alpha = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7}
\alpha^2 = \cos\frac{4\pi}{7} + i\sin\frac{4\pi}{7}
\alpha^3 = \cos\frac{6\pi}{7} + i\sin\frac{6\pi}{7}
\alpha^4 = \cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7}
\alpha^5 = \cos\frac{10\pi}{7} + i\sin\frac{10\pi}{7}
\alpha^6 = \cos\frac{12\pi}{7} + i\sin\frac{12\pi}{7}

โดย ทฤษฎีสมการและตรีโกณมิติ (ใน My Maths ตอนต่าง ๆ ที่เขียนอยู่) จะได้ว่า

\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{8\pi}{7} = -\frac{1}{2} และ
\sin \frac{2\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} = \frac{\sqrt{7}}{2}

ดังนั้น -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2} = \alpha + \alpha^2 + \alpha^4 = \alpha + \alpha^2(1+\alpha^2)
และ -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{7}}{2} = -(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2}) = -(1 - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2}) = -(1 + \alpha + \alpha^2(1 + \alpha^2))
ไม่รูjวาโจทย์อยากให้ตอบแบบนี้หรือเปล่า

--------------------------------------------------------------------------------

กรี๊ดดดด เสิร์ชเจอดั้วะ


_________________